Die Pythagoreer.

/1/ Wahrscheinlich außerhalb der Gruppe der Sophisten, die in gewissem Umfange1 mit der demokratischen Bewegung verbunden war, stand eine Gruppe von mathematisch interessierten Philosophen, die Beziehungen zu aristokratischen Strömungen besaß. Sie nannten sich selbst Pythagoreer nach dem ziemlich mythischen Gründer der Schule, PYTHAGORAS, der vermutlich Mystiker, Wissenschaftler und süditalienischer Politiker war. Während die meisten Sophisten nachdrücklich die Realität der Veränderung vertraten, verlegten die Pythagoreer das Schwergewicht ihrer Studien auf die unveränderlichen Elemente in Natur und Gesellschaft. In ihrer Suche nach den ewigen Gesetzen des Kosmos studierten sie Geometrie, Arithmetik, Astronomie und Musik (das “Quadrivium”).

/2/ Ihre Arithmetik war eine in hohem Maße spekulative Wissenschaft, die mit der gleichzeitigen babylonischen Rechentechnik wenig zu tun hatte2. Die Zahlen wurden in Klassen eingeteilt, in gerade, ungerade, geradzahlig oft gerade, ungeradzahlig oft ungerade, Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen, vollkommene, befreundete, Dreieck-, Quadrat-, Fünfeckzahlen usw.

/3/ Einige der interessantesten Ergebnisse betreffen die “Dreieckzahlen”, die ein Bindeglied zwischen Geometrie und Arithmetik darstellen:

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.1 . . 3 . . . 6 . . . . 10 usw.

/4/ Unsere Bezeichnung “Quadratzahlen” hat ihren Ursprung in Pythagoreischen Spekulationen

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. 1 . . 4 . . . 9 usw.

Die Figuren selbst sind älter, denn einige von ihnen finden sich bereits auf Topfereien aus der jüngeren Steinzeit. Die Pythagoreer untersuchten ihre Eigenschaften, wobei sie ihr besonderes Merkmal des Zahlenmystizismus hinzufügten und sie zum Mittelpunkt einer kosmischen Philosophie machten, die alle Beziehungen zurückzuführen versuchte3. In der Zahl sahen die Pythagoreer die einzige Wirklichkeit der objektiven Realität (“Alles ist Zahl”.) Ein Punkt war eine “Einheit mit Lage”.

/5/ Die Pythagoreer kannten einige Eigenschaften der regulären Körper. Sie zeigten, wie man die Ebene mit Hilfe von regulären Dreiecken, Quadraten und regulären Sechsecken und den Raum mit Würfeln ausfüllen kann. Die Pythagoreer haben möglicherweise auch das reguläre Oktaeder und Dodekaeder gekannt.

/6/ Die wichtigste Entwicklung der Pythagoreer war die Entdeckung des Irrationalen mit Hilfe von Strecken. Diese Entdeckung kann das Ergebnis ihres Interesses für das geometrische Mittel a : b = b : c gewesen sein, das als Symbol der Aristokratie galt. Wie groß war das geometrische Mittel von 1 und 2, von zwei heiligen Symbolen? Das führte zum Studium des Verhältnisses von Seite und Diagonale eines desselben Quadrates, und man fand, dass dieses Verhältnis nicht durch “Zahlen” ausgedrückt werden konnte – d.h. durch positive ganze Zahlen und ihre Verhältnisse, die in der Pythagoreischen Arithmetik allein zugelassenen Begriffe. Diese Entdeckung, die die Harmonie zerstörte, wurde wahrscheinlich in den letzten Jahrzehnten des fünften Jahrhunderts v. u. Z. gemacht. Sie kam noch zu einer anderen Schwierigkeit hinzu, die aus Erörterungen entstanden war, d. h. aus Erörterungen, die die Philosophen seit jener Zeit bis ins unsere Tage beschäftigt haben.



/7/ Diese Schwierigkeit wird ZENO von Elea4(um 450 v. U. Z.), einem Schüler von PARMENIDES, zugeschrieben. ZENO war konservativer Philosoph, nach dessen Lehre der menschliche Verstand nur das absolute, unveränderliche Sein der Dinge5 erkennen kann, während alle Veränderungen nur Schein sind. Sie gewann mathematische Bedeutung, als im Zusammenhang mit solchen Fragen wie der Bestimmung des Pyramidenvolumens unendliche Prozesse studiert werden mussten.

/8/ Die Überlegungen von ZENO machten klar, dass eine endlose Strecke in unendlich viele kleine Strecken zerlegt werden kann, von denen jede eine endliche Länge besitzt. ZENOs Überlegungen beunruhigten die Mathematiker noch sehr, nachdem das Irrationale entdeckt werden war.


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